Ableitung der Exponentialfunktion
Die Ableitung der natürliche Exponentialfunktion ist
Erläuterung
Wir fangen an mit der Exponentialfunktion
f (x) = ax
Substitution in die Definition der Ableitung gibt
Eine Umrechnung ergibt dann
Für x = 0 ergibt das
Dies beschreibt eine Konstante, denn die Berechnung enthält kein einziger x mehr, und der Wert hängt nur ab von a, die Basis. Darum kann man jetzt schreiben
Wir möchten wissen für welchen Wert von a die Funktion f ′(0) = 1 ist, denn dann wird f ′(x) = ax, und bleibt die Funktion unverändert. Darum berechnen wir
Multiplizieren mit h ergibt
Schieben ergibt
Nach Potenzrechnen erhalten wir
Umrechnen ergibt dann
Wir nehmen , und wegen h → 0 ergibt sich n → ∞, und also
Dieser Wert heißt die Zahl e - von Exponent. Für diese Zahl ergibt sich dann
und die natürliche Exponentialfunktion ist seine eigene Ableitung!